Richtung: θ=60°, φ=30°
Betrag des Gesamtfeldes: 1.0
Re(E) Exakt: 0.0
Das Gesamtfeld, oft in seiner allgemeinen Form als Array-Faktor bezeichnet, repräsentiert das kombinierte elektromagnetische Feld an jedem Punkt im Raum, das durch alle aktiven Antennenelemente erzeugt wird. Es hängt von den Antennenpositionen, der Steuerungsrichtung und dem Elementmuster ab.
$$E(\vec{R}) = \sum_{n=1}^N \left( \sum_{p \in \text{patch sub-elements}} F(\hat{r}_{\text{local},p}) \right) \cdot \exp\left[ -ik |\vec{R} - \vec{r}_n| + i k (\vec{r}_n \cdot \hat{s}) \right]$$
$$E(\hat{r}) = \sum_n F(\hat{r}) \cdot \exp\left( -ik (\hat{r} \cdot \vec{r}_n) + i k (\vec{r}_n \cdot \hat{s}) \right)$$
Die Berechnung des Fernfeldes basiert auf grundlegenden Prinzipien der Wellenausbreitung und der Superposition.
$$\vec{E}(\hat{d}) = \sum_{n=1}^{N} \vec{E}_n(\hat{d})$$
Im Fernfeld können wir den Abstand von einem Beobachtungspunkt $\\vec{R}$ zu einem Antennenelement bei $\\vec{r}_n$ annähern. Der exakte Abstand ist $\\vert\\vec{R} - \\vec{r}_n\\vert$. Wenn $R = \\vert\\vec{R}\\vert$ der Abstand vom Ursprung zum Beobachtungspunkt ist und $\\hat{d} = \\vec{R}/R$ die Beobachtungsrichtung ist, dann gilt:
$$\vert\vec{R} - \vec{r}_n\vert = \sqrt{R^2 - 2R(\hat{d} \cdot \vec{r}_n) + \vert\vec{r}_n\vert^2}$$
For large distances $R \gg \vert\vec{r}_n\vert$ we can use a Taylor expansion and neglect higher-order terms (Fraunhofer approximation). This leads to the distance approximation:
$$\vert\vec{R} - \vec{r}_n\vert \approx R - (\hat{d} \cdot \vec{r}_n)$$
Der Wegunterschied $\\Delta l_n$ für die Welle von der $n$-ten Antenne zum Beobachtungspunkt im Vergleich zu einer Welle vom Ursprung ist:
$$\Delta l_n = -(\hat{d} \cdot \vec{r}_n) \quad\Rightarrow\quad \phi_n = -k(\hat{d} \cdot \vec{r}_n) \text{ with } k = \frac{2\pi}{\lambda}$$
$$E_n(\hat{d}) = e^{-i k (\hat{d} \cdot \vec{r}_n)}$$
Strahlformung ermöglicht die elektronische Ausrichtung des Hauptstrahls. Dies geschieht durch gezielte Phasenverschiebungen an jedem Antennenelement. Um den Strahl in eine Richtung $\\hat{s}$ zu lenken, muss die Phasenverschiebung an der Antenne $n$ um $k(\\vec{r}_n \\cdot \\hat{s})$ vorgezogen werden.
$$\phi_n(\text{steer}) = k(\vec{r}_n \cdot \hat{s})$$
$$E_n(\hat{d}) = e^{-i k (\hat{d} \cdot \vec{r}_n) + i k (\vec{r}_n \cdot \hat{s})}$$
Wenn Sie den Strahl in eine bestimmte Beobachtungsrichtung lenken möchten, wählen Sie die Lenkrichtung $\\hat{s}$ gleich der Beobachtungsrichtung $\\hat{d}$. Die erforderliche Phasenverschiebung ist dann genau die inverse der durch den Wegunterschied am Beobachtungspunkt verursachten Phase.
Eine leitende Grundebene unter den Antennen erzeugt eine 'Spiegelantenne' (Image Source), die das Strahlungsmuster beeinflusst. Die Bildantenne befindet sich spiegelbildlich zur Originalantenne und hat eine zusätzliche Phasenverschiebung von $\\pi$ (180°) für parallel zur Ebene liegende Dipole.
$$E(\hat{d}) = \sum_n F(\hat{d}) \left[ e^{-i k \hat{d} \cdot \vec{r}_n + i \phi_n(\text{steer})} + e^{-i k \hat{d} \cdot \vec{r}_n' + i \phi_n(\text{steer}) + i \pi} \right]$$
In dieser Visualisierung befinden sich die Antennen im XZ-Flugzeug (Y=0) und strahlen nach oben. Eine imaginäre Grundebene würde unterhalb dieser Ebene liegen.
Das Fernfeldmuster eines Antennenarrays ist die Fourier-Transformation der Stromverteilung im Nahfeld. Dies bedeutet, dass jede Beobachtungsrichtung im Fernfeld einer 'räumlichen Frequenz' im Fourier-Raum entspricht.
$$AF(\hat{d}) = \sum_{n=1}^{N} a_n e^{i k (\hat{d} \cdot \vec{r}_n)}$$
Durch die inverse Fourier-Transformation kann man die Nahfeldverteilung (Anregungen der Antennen) aus dem Fernfeldmuster rekonstruieren.
Die in der 3D-Visualisierung gezeigten Antennenpositionen selbst repräsentieren die physische Anordnung der Quellen, die das Nahfeld erzeugen. Die Aktivierung und Positionierung dieser Antennen steuert die 'Nahfeldverteilung'.
Betrachten wir ein numerisches Beispiel, um die Phasenberechnungen zu verdeutlichen:
$\lambda = 1 \text{ m} \Rightarrow k = \frac{2\pi}{\lambda} = 2\pi \text{ rad/m}$
$\vec{r}_n = [0.5, 0, 0]$
$\hat{d} = [0.5, 0, 0.866]$
$\hat{d} \cdot \vec{r}_n = (0.5)(0.5) + (0)(0) + (0.866)(0) = 0.25$
$\phi_n = -k(\hat{d} \cdot \vec{r}_n) = -2\pi(0.25) = -\frac{\pi}{2}$
$E_n = e^{-i\pi/2} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i(1) = -i$
Mit Steuerung in derselben Richtung $\\hat{s} = \\hat{d}$ ist die Steuerphase:
$\phi_n(\text{steer}) = k(\vec{r}_n \cdot \hat{s}) = k(\vec{r}_n \cdot \\hat{d}) = 2\pi(0.25) = +\frac{\pi}{2}$
Die kombinierte Elementantwort ist dann:
$E_n = e^{-i\pi/2} \cdot e^{i\pi/2} = e^{(-i\pi/2) + (i\pi/2)} = e^0 = 1$
Dies zeigt, dass die Steuerung die Phase exakt kompensiert, sodass der Beitrag dieser Antenne in der gewünschten Richtung in Phase ist.
| Symbol | Definition |
|---|---|
| $\vec{r}_n$ | Positionsvektor der $n$-ten Antenne |
| $\hat{d}$ | Beobachtungsrichtung (Einheitsvektor) |
| $\hat{s}$ | Lenkrichtung (Steering Direction, Einheitsvektor) |
| $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ | Wellenzahl ($2\\pi/\lambda$), wobei $\\lambda$ die Wellenlänge ist |
| $\phi_n$ | Phasenverzögerung aufgrund des Wegunterschieds von Antenne $n$ zum Beobachtungspunkt |
| $\phi_n(\text{steer})$ | Zusätzliche Phasenverschiebung an Antenne $n$ für die Strahlformung (Steering Phase) |
| $F(\hat{d})$ | Richtungsabhängiger Gewinn (Elementar-Antennen-Muster) eines einzelnen Antennenelements |
| $A$ | Matrix aller Antennenpositionen, wobei jede Zeile ein Positionsvektor $\\vec{r}_n$ ist |
| $\Delta$ | Vektor der Skalarprodukte $A \\cdot \\hat{d}$ (Wegunterschiede) |
| $\Phi$ | Vektor der Skalarprodukte $k \\cdot A \\cdot \\hat{s}$ (Lenkphasen) |
| $N$ | Gesamtzahl der Antennenelemente im Array |
| $\lambda$ | Wellenlänge des Signals |
| $\hat{n}$ | Normalenvektor der Antennenfläche (für Patch-Antennen) |
| $p$ | Exponent zur Steuerung der Strahlbreite des Elementar-Antennen-Musters |